八月 21, 2010

定理是數學的骨架

定理是數學的骨架

在新介紹一個定義或是符號後,接下來若不是基本例題,便是定理。

舉例來說,當我們定義什麼是斜率之後,接著會有一些基本例題讓你了解什麼是斜率,以及斜率如何計算,然後就會有定理出現:

定理:兩平行線的斜率相等

定理:兩垂直線的斜率乘積為-1

又如定義了正弦和餘弦等三角比,並且介紹過符號之後,基本例題可以讓你計算一下,然後就有定理:sin2θ+cos2θ=1

數學,藉由這些定理,慢慢建立起來。某些定理會導出推論,也就是衍生出來的定理;某些定理再加入了其他的定義之後,又發展出新的定理。例如:

三角形的餘弦定理,在平行四邊形時就推導出平行四邊形定理;進一步又可以推導出三角形中線定理。

就在這樣的循環下,把數學建立起來。只是目前我們所學的東西,多數還留在一些基本算法階段,例如數列級數,解三角形等等。所以高中的情況不大感覺得到數學式由定理建立的這件事,畢竟有骨架之後,還是得長出血肉,才是完整的。

當我們看到一個定理時,要先認清這個定理的條件和結論。滿足條件後,才會有結論。例如前述定理:兩平行線的斜率相等,條件就是兩條平行線(或是說兩線平行),結論就是斜率相等。對於滿足條件的,就會有結論中的論述;而那些不滿足條件的情況,「不一定」會有結論的情形。也就是要注意第二件事:

結論是必要條件還是充要條件?

兩平行線的斜率相等,這是充要條件,也就是反過來說,斜率相等的兩線會平行。(可能有人會說必須兩線相異,那就如此吧)。如果是充要條件,那就要判斷逆命題是否為真,如果是的話,我們或許稱此為逆定理。例如直角三角形兩股平方和等於斜邊平方,這是畢氏定理;反過來若三角形有兩邊平方和等於第三邊的平方,那麼可以判定此為直角三角形,這就稱為畢氏定理的逆定理。

若非充要條件而當成充要來看,必然發生問題。例如牛頓定理(有理根勘定公式)就只是必要條件,例如x3+x2+x+3=0可能的有理根有±1和±3,但是若當成這四個都是根,顯然錯的離譜!

接著當然是要會證明,能夠自己證明定理,當然表示對這個定理有比較深入的了解。當然一些超過現在程度的定理就不用理會了,例如代數基本定理,勘根定理等等。

最後,有些定理是當成公式在使用,例如海龍公式。在這情況下,就會有一些基本例題,讓你更了解這個定理。

希望學數學的人,要對定理這件事有深刻的了解。



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